Question

如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF

如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．

Answer 1

解答：证明：
延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
∴∠1=∠4=

1

2

∠ADB，∠3=∠5=

1

2

∠ADC，
∴∠1+∠3=∠4+∠5=

1

2

∠ADB+

1

2

∠ADC=

1

2

×180°=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=90°，
即∠EDF=∠FDH，
在△EFD和△HFD中，

DE＝DH ∠FDE＝∠FDH DF＝DF

，
∴△EFD≌△HFD（SAS），
∴EF=FH，
在△BDE和△CDH中，

DE＝DH ∠1＝∠2 BD＝DC

，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF．