Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；（II）若函数f(x)在(0，12)上

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；（II）若函数f(x)在(0，12)上无零点，求a的最小值；（III）若0＜n＜m，求证：m?nlnm?lnn＜2m．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′(x)＝1?

2

x

，（1分）
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．（3分）
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）（4分）
（II）因为f(x)＜0在区间(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，
只要对任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，
即对x∈(0，

1

2

)，a＞2?

2lnx

x?1

恒成立．（6分）
令l(x)＝2?

2lnx

x?1

，x∈(0，

1

2

)，
则l(x)＝?

2 x (x?1)?2lnx

(x?1)2

＝

2lnx+ 2 x ?2

(x?1)2

，（7分）

再令m(x)＝2lnx+ 2 x ?2，x∈(0， 1 2 )， 则m′(x)＝? 2 x2 + 2 x ＝ ?2(1?x) x2 ＜0，

故m(x)在(0，

1

2

)上为减函数，

于是m(x)＞m( 1 2 )＝2?2ln2＞0， 从而，l(x)＞0，于是l(x)在(0， 1 2 )上为增函数，

所以l(x)＜l( 1 2 )＝2?4ln2， 故要使a＞2? 2lnx x?1 恒成立，只要a∈[2?4ln2，+∞)，

综上，若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，则a的最小值为2-4ln2．（9分）
（III）证明：由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减．
∵0＜

n

m

＜1，∴f(

n

m

)＞f(1)（12分）
∴(

n

m

?1)?2ln

n

m

＞0?

n?m

m

＞2(lnn?lnm)∴

m?n

m

＜2(lnm?lnn)，
即

m?n

lnm?lnn

＜2m（14分）