Question

求函数y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）的定义域、值域和单调区间

求函数y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

由μ（x）=x 2 -5x+4＞0，解得x＞4或x＜1， 所以x∈（-∞，1）∪（4，+∞）， 当x∈（-∞，1）∪（4，+∞），{μ|μ=x 2 -5x+4}=R + ， 所以函数y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）的值域是（-∞，+∞）． 因为函数y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）是由y= lo g 1 3 μ（x）与μ（x）=x 2 -5x+4复合而成， 函数y= lo g 1 3 μ（x）在其定义域上是单调递减的， 函数μ（x）=x 2 -5x+4在（-∞， 5 2 ）上为减函数，在[ 5 2 ，+∞]上为增函数． 考虑到函数的定义域及复合函数单调性， y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）的增区间是定义域内使y= lo g 1 3 μ（x）为减函数、μ（x）=x 2 -5x+4也为减函数的区间，即（-∞，1）； y= lo g 1 3 （x 2 -5x+4）的减区间是定义域内使y= lo g 1 3 μ（x）为减函数、μ（x）=x 2 -5x+4为增函数的区间，即（4，+∞）．