Question

已知函数 f(x)=lg[ a x -( 1 2 ) x ] ，（ a＞0，a≠1，a为常数）（1）当a=2时，求f（x

已知函数 f(x)=lg[ a x -( 1 2 ) x ] ，（ a＞0，a≠1，a为常数）（1）当a=2时，求f（x）的定义域；（2）当a＞1时，判断函数 g(x)= a x -( 1 2 ) x 在区间（0，+∞）上的单调性；（3）当a＞1时，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a应满足的条件．

Answer 1

(1). 2 x ＞( 1 2 ) x ，即 2 x ＞ 2 -x ?x＞-x ， ∴x＞0．f（x）的定义域为（0，+∞） （2）当a＞1时，函数的定义域为（0，+∞）．任取0＜x 1 ＜x 2 ， 则g（x 1 ）-g（x 2 ）= a x 1 -( 1 2 ) x 1 - a x 2 +( 1 2 ) x 2 =( a x 1 - a x 2 )+( 1 2 ) x 2 -( 1 2 ) x 1 ， 由于a＞1，有 a x 1 ＜ a x 2 ，( 1 2 ) x 2 ＜( 1 2 ) x 1 ， ∴y 1 -y 2 ＜0，即y 1 ＜y 2 ∴ g(x)= a x -( 1 2 ) x 在其定义域上是增函数．（也可：由a＞1，知a x 递增，0.5 x 递减，-（0.5） x 也递增，故g（x）递增） （3）依题意， lg[ a x -( 1 2 ) x ]＞0=lg1 ，即 a x -( 1 2 ) x ＞1 对x∈[1，+∞）恒成立， 由于a＞1时， y= a x -( 1 2 ) x 在[1，+∞)  上递增， ∴ f(1)=lg(a- 1 2 )＞0 ，得 a- 1 2 ＞1 ，∴ a＞ 3 2 ．