已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD." (Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;(Ⅱ)若E
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD."(Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证:EF...
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD." (Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证:EF⊥BC;(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.
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推荐于2016-07-08
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(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 见解析;(Ⅲ) . |
试题分析:(Ⅰ)证明BC∥AD,利用线面平行的判定,证明BC∥平面PAD; (Ⅱ)利用线面垂直的判定证明BC⊥面EFG,即可证明EF⊥BC; (Ⅲ)设PA的中点为N,连结DN,NC,证明∠CND是所求二面角的平面角,从而可求二面角C-PA-D的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)证明:因为ABCD是正方形,所以BC∥AD. 因为AD?平面PAD,BC 平面PAD, 所以BC∥平面PAD.…(4分) (Ⅱ)证明:因为PD⊥底面ABCD,且ABCD是正方形,所以PC⊥BC. 设BC的中点为G,连结EG,FG,则EG∥PC,FG∥DC. 所以BC⊥EG,BC⊥FG.…(6分) 因为EG∩FG=G,所以BC⊥面EFG. 因为EF?面EFG,所以EF⊥BC.…(8分) (Ⅲ)解:设PA的中点为N,连结DN,NC, 因为PD=AD,N为中点,所以DN⊥PA. 又△PAC中,PC=AC,N为中点,所以NC⊥PA. 所以∠CND是所求二面角的平面角.…(10分) 依条件,有CD⊥PD,CD⊥AD, 因为PD∩AD=D,所以CD⊥面PAD. 因为DN?面PAD,所以CD⊥DN. 在Rt△CND中,DN= ,NC= .于是Cos∠CND= .…(13分) |
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