Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从A开始沿AB边向点B以1cm∕s的速度移动，点Q从点B开始沿

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从A开始沿AB边向点B以1cm∕s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm∕s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，（1）如图（1），经过多少时间，△PBQ与△ABC相似？（2）如图（2），当P到B后又继续在BC上前进，Q到C后又继续在CA上前进，经过多少时间，可以使得△CPQ的面积为12.6cm2？

Answer 1

（1）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=

AB2+BC2

=10（cm），
设经过x秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BP=6-x（cm），BQ=2xcm（1分）
①若△PBQ∽△ABC，则

PB

AB

＝

BQ

BC

，
即

6?x

6

＝

2x

8

，
∴x=

12

5

，（3分）
②若△PBQ∽△CBA，则 

PB

BC

＝

BQ

AB

，
即

6?x

8

＝

2x

6

，
∴x=

18

11

，
∴经过

12

5

s或

18

11

s时，△PBQ与△ABC相似．（5分）

（2）过Q作QD⊥BC于D点．
∵∠C=∠C，∠CDQ=∠CBA=90°，
∴△CDQ∽△CBA，
∴

DQ

AB

＝

CQ

CA

，
设经过y秒，
∴CQ=2y-8，CP=AB+BC-y=14-y，
∴

DQ

6

＝

2y?8

10

，
∴DQ=

6y?24

5

（7分）
在△CPQ中，QD⊥CP，
∴S_△CPQ=

1

2

CP?QD=

1

2

（14-y）?

6y?24

5

，（8分）
当S=12.6时  解得y₁=7，y₂=11．
当y₁=7时，即经过7秒，P在BC上距点C7cm处，Q在AC上距点C6cm处．符合题意．
当y₂=11时，即经过11秒，P在BC上距点C3cm处，而Q在AC上距点C14cm处，不合题意，故舍去．
∴当经过7秒时，可以使△CPQ的面积为12.6cm²．