Question

设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向

设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．（2）求矩阵B．

Answer 1

（1）
由Aα₁=α₁得：A²α₁=Aα₁=α₁，
进一步得：
A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，
故：
Bα1＝(A5?4A3+E)α1=α₁-4α₁+α₁=-2α₁，
从而：α₁是矩阵B属于特征值-2的特征向量，
因为：B=A⁵-4A³+E以及A的3个特征值分别为：λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，
所以：B的3个特征值为：μ₁=-2，μ₂=1，μ₃=1．
设：α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，
又A为对称矩阵，得B也是对称矩阵，
因此α₁与α₂，α₃正交，即：
α1Tα2＝0，    α1Tα3＝0，
所以：α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
（1，-1，1）

X1 X2 X3

=0，
其基础解系为：

1 1 0

，

?1 0 1

，
故可取：α2＝

1 1 0

，α3＝

?1 0 1

，
即B的全部特征值的特征向量为：
k₁

1 ?1 1

，k2

1 1 0

+k3

?1 0 1

，其中k₁≠0，是不为零的任意常数，k₂，k₃是不同时为零的任意常数，

（2）
令：P＝(α1，α2，α3)＝

1 1 ?1 ?1 1 0 1 0 1

，
则：P?1BP＝

?2 0 0 0 1 0 0 0 1

，

得：
B=P

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