Question

已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若

已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

Answer 1

（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1）， 则g′（x）=lnx+1-a， 由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜e a-1 ； 由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞e a-1 ． 所以g（x）在（0，e a-1 ）上单调递减，在（e a-1 ，+∞）上单调递增． （2）设切点坐标为（x 0 ，y 0 ），则y 0 =x 0 lnx 0 ，切线的斜率为lnx 0 +1． 所以切线l的方程为y-x 0 lnx 0 =（lnx 0 +1）（x-x 0 ）， 又切线l过点（0，-1），所以有-1-x 0 lnx 0 =（lnx 0 +1）（0-x 0 ）， 即-1-x 0 lnx 0 =-x 0 lnx 0 -x 0 ， 解得x 0 =1，y 0 =0， 所以直线l的方程为y=x-1．