Question

从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，

从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．

Answer 1

当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（5分） 当n=5时，设a 1 ，a 2 ，a 5 是1，2，…，9中的5个不同的数． 若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1 ，a 2 ，a 5 中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6． 于是a 1 ，a 2 ，…，a 5 中必定有一个数是5． 若a 1 ，a 2 ，…，a 5 中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7； 于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾． 若a 1 ，a 2 ，…，a 5 中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3； 于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n的最小值为5．（15分）