Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE． （1）判断DE与⊙

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求证： （3）若tanC＝ ，DE＝2，求AD的长．

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Answer 1

（1）证明∠EDO＝∠EBO＝90°，所以DE与⊙O相切 （2）通过证明AC="2OE" ，BC 2 =CD·AC得BC 2 =2CD·OE （3）

试题分析：(1) DE与⊙O相切  理由如下：连接OD，BD， ∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90° ∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD， ∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB． ∴∠EDO＝∠EBO＝90° ∴DE与⊙O相切 （2）证明：由题意得OE是的 ABC的中位线，∴AC=2OE  ∵∠ABC=∠BDC=90 0 ，∠C=∠C ，∴ ABC∽ BDC ∴ ，∴BC 2 =CD·AC，∴BC 2 =2CD·OE (3) ∵DE＝2      BC＝4    AB＝4. tanC   tanA＝ ， 设BD＝AD ，     点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形，三角函数，要求学生掌握直线与圆相切，会证明直线与圆相切，熟悉相似三角形的判定方法，会证明两个三角形相似