Question

若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0-a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）=f（x0-a）成立，则称“函数f

若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0-a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）=f（x0-a）成立，则称“函数f（x）在x=x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）=x3-3x2+2x-1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x=1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）=x+bx（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x=x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（1+a）=f（1-a），
∴（1+a）³-3（1+a）²+2（1+a）-1=（1-a）³-3（1-a）²+2（1-a）-1，
∴a（a+1）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1；
（2）令g（x）=c，则x+

b

x

=c，即x²-cx+b=0（*）．
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x₀，
∴c＞0，b＞0，c²-4b＞0，

c

2

=x₀，
∴0＜b＜x₀²对一切意x₀∈（3，4）均成立，
∴b的取值范围为（0，9）．