Question

如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=13AB，则图中阴影部分的面积

如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=13AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2525．

Answer 1

解答：解：设正方形的边长为a，则S_□ABCD=a²，
∵AE=BF=CG=DH=

1

3

AB，
∴AE=BF=CG=DH=

1

3

a，
∴AF=

a2+( 1 3 a)2

=

10

3

a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S_△AED=

1

2

×

1

3

a?a=

1

6

a²．
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，
∴∠ALE=∠DAE=90°，
∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴

AL

AB

=

AE

AF

=

EL

BF

，即

AL

a

=

1 3 a

10 a 3

=

EL

1 3 a

，
解得，AL=

10

10

a，EL=

10 a

30

，
∴S_△AEL=

1

2

AL?EL=

1

2

×

10

10

a×

10 a

30

=

a2

60

，
同理可得，S_△AEL=S_△BNF=S_△CKG=S_△DHJ=

a2

60

，
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4×

1

6

a²+4×

a2

60

=

2

5

a²，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

2

5

a²：a²=

2

5

．