Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1=1，D是棱AA1的中点．（I） 求三棱锥D

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1=1，D是棱AA1的中点．（I） 求三棱锥D-ABC的体积VD-ABC （Ⅱ）证明：DC1⊥平面BDC．

Answer 1

（I）∵AC=BC=

1

2

AA₁=1，D是棱AA₁的中点，
∴S_△ABC=

1

2

AC?BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
又DA⊥平面ABC，
∴三棱锥D-ABC的体积为：V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×DA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

证明：（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，CD=DC₁=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²，
△C₁DC是直角三角形，
∴C₁D⊥DC，
由题意知AB=

2

，
在Rt△ABD中，AD=1，AB=

2

，
∴BD=

3

，
在Rt△A₁DC₁中，C₁D=

A1D2+A1C12

=

2

，
在Rt△BCC₁中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，
∴BD²+DC₁²=BC₁²，
∴△BDC₁是直角三角形．
即C₁D⊥BD，
又∵DC∩BD=D，
∴DC₁⊥平面BDC．