Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A1B和A1B1的中点．（Ⅰ）证明

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A1B和A1B1的中点．（Ⅰ）证明：平面MON∥平面B1BCC1（Ⅱ）证明：平面A1BD⊥平面A1ACC1．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）连结AB₁和B₁C，
∵M是BA₁的中点，∴M也是AB₁的中点，
∵O是AC的中点，∴MO∥B₁C，
∵MO不包含于平面B₁BCC₁，B₁C?平面B₁BCC₁，
∴MO∥平面B₁BCC₁，
又∵N是线段A₁B₁的中点，∴MN∥BB₁，
而MN不包含于平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，
∴MN∥平面B₁BCC₁，
又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥CC₁，
∵AC?平面A₁ACC₁，C₁C?平面A₁ACC₁，且AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．