Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）对任意的x∈(0，12)，f(x)

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）对任意的x∈(0，12)，f(x)＞0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-

2

x

，
由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；
（2）对任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x?1

恒成立，
令l（x）x=2-

2lnx

x?1

，x∈（0，

1

2

），
则l′（x）=

2 x (x?1)?2lnx

(x?1)2

=

2lnx+ 2 x ?2

(x?1)2

，
再令m（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），则m′（x）=-

2

x2

+

2

x

=

?2(1?x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上为减函数，
于是m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以l（x）＜l（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x?1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值为2-4ln2．