Question

高二数学第五题

Answer 1

(a,b)位于椭圆上，0≤a≤1,0≤b≤√2,要求a≥b≥0，就是椭圆位于y=x直线的下面、x轴上面部分。
2a^2+b^2=2,b^2=2-2a^2,1+b^2=3-2a^2,代入
a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=z
z^2=a^2(3-2a^2)=3a^2-2a^4
(z^2)'=6a-8a^3=2a(3-4a^2)=0,a=0,或者a=√3/2 （0.866）

a=b时，a^2+a^2/2=1,3a^2=2,a^2=2/3,a=√6/3=b （0.816）

椭圆与表达式相关部分的起点是(√6/3,√6/3)~(1,0),a=√3/2正在这个区间
(z^2)''=6-24a^2<0,曲线向下凹，(z^2)'单调递减，a=1时有最小值，2(3-4)=-2<0;a=√6/3时有最大值，2√6/3(3-4x2/3)=2√6/9>0;
∴a=√3/2 时z^2有最大值，a≥b≥0，∴z=a√(1+b^2)>0,z也在此点有最大值，a√(3-2a^2)=(√3/2)√(3-2x3/4)=(√3/2)√(3/2)=3/2√2=3√2/4, (1.061)