Question

已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF. （1）如图1,当点D在AB

已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF. （1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时线段CF的长(直接写出结果).

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Answer 1

（1）DF=CF，且DF⊥CF；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3） .

试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF； （2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF； （3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=  ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值． 试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF= BE，CF= BE. ∴DF=CF． ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°. ∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF. ∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF. 同理得：∠CFE=2∠CBF， ∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°. ∴DF=CF，且DF⊥CF． （2）（1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G． ∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF． ∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF． ∵AD=DE，∴AD=GB. ∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC． ∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形. ∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF． （3）如图，延长DF交BA于点H， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE． ∴∠AED=∠ABC=45°. ∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°， ∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF． ∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB. ∵AC= ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4. ∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3. 在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH= ， ∴DF= ，∴CF= . ∴线段CF的长为 .