Question

已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD

已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=2，sinC=12时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OE．
∵AB=BC且D是BC中点
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OEB=∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC与⊙O相切．

（2）解：∵BD=2，sinC=

1

2

，BD⊥AC
∴BC=4
∴AB=4
设⊙O 的半径为r，则AO=4-r
∵AB=BC
∴∠C=∠A
∴sinA=sinC=

1

2

．
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA=

r

4?r

=

1

2

∴r=

4

3

．

Answer 2

（1）证明：连接OE，
∵AB=BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．

（2）∵BD=6，sinC=

3    

5    

，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
设⊙O 的半径为r，则AO=10-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=

3    

5    

，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA=

OE    

OA    

=

r    

10-r    

=

3    

5    

，
∴r=

15    

4    

，
答：⊙O的半径是

15    

4    

…

Answer 3

（1）
因为：AB=BC，
所以：三角形ABC为等腰三角形
而：D为AC的中点
所以：BD垂直AC
所以：角DEB=90度-角DBE
连接EF,
因为：FB为直径，所以：角FEB=90度
所以：角EFB=90度-角ABE
而：角ABE=角DBE
所以：角EFB=角DEB
所以：AC是园的切线
（2）
sinC=1/2
所以：角C=30度
所以：BC=2*BD=4，角DBC=60度
所以：角ABD=角DBC=60度
所以：角EBF=角EBD=(1/2)角ABD=30度
所以：角EBC=角EBD+角DBC=90度
所以：EB=BC*tanC=(4/3)根号3
FB=EB/cos角EBF=(4/3)(根号3)/cos30度=8/3
半径OB=FB/2=4/3

Answer 4

1.连接EO，∠DBE=∠EBO
又∠BEO=∠EBO，故∠BEO=∠DBE
因BD⊥AC，则∠DEB+∠DBE=90º
于是∠DEB+∠DBE=90º，即：EO⊥AC，则圆O与AC相切
2.因sinc=1/2,则∠C=30º
∠DBE=1/2∠DBA=1/2∠DBC=30º
BD=BEcos30º=BFcos30º*cos30º=2BO*cos²30º=2
BO*3/4=1
BO=4/3
故⊙O半径为4/3

Answer 5

连接OE，差不多了