Question

如图，△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，过O点作OG⊥BC垂足为G，（1）猜想∠BOC与90°+12∠BAC

如图，△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，过O点作OG⊥BC垂足为G，（1）猜想∠BOC与90°+12∠BAC之间的数量关系，并说明理由；（2）∠BOE与∠COG相等吗？为什么？

Answer 1

（1）∠BOC=90°+

1

2

∠BAC；  
理由：∵△ABC中，三条角平分线AE、BD、CF相交于点O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠BAC）=90°+

1

2

∠BAC；

（2）∠BOE=∠COG
理由：由（1）知∠AOB=90°+

1

2

∠ACB，
∴∠BOE=180°-∠AOB=180°-（90°+

1

2

∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠COG=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOE=∠COG．