Question

求证：ex≥x+1

求证：ex≥x+1．

Answer 1

证明：（1）当x=0时，e^x=1，x+1=1，命题成立；
（2）当x＞0时，令f（x）=e^x-x-1，
则f′（x）=e^x-1＞0∴f（x）在（0，+∞）上为增函数
∵x＞0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1；
（3）当x＜0时，令f（x）=e^x-x-1，
则f′（x）=e^x-1＜0∴f（x）在（-∞，0）上为减函数
∵x＜0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1
综合以上情况，e^x≥x+1．