Question

在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC．（1）如图1，若∠BAC=90°

在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC．（1）如图1，若∠BAC=90°，猜想DB与DC的数量关系为______；（2）如图2，若∠BAC=60°，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC=α°，请直接写出DB与DC的数量关系．

Answer 1

解：（1）猜想：DB=2DC；
（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，
∵∠BED=∠BAC，
∴∠FAC=∠ABE，
∵在△ACF和△BAE中，

CA＝AB ∠AFC＝∠AEB AF＝BE

，
∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴CF=AE，∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠AEB．
∵∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠BEA，
∴∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED，
∵CG∥BE，
∴∠CGF=∠BED，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CG=CF，
∵∠BED=2∠DEC，
∵∠CFG=∠DEC+∠ECF，∠CFG=∠BED，
∴∠ECF=∠DEC，
∴CF=EF，
∴BE=AF=2CF，
∵CG∥BE，
∴BD：CD=BE：CG，
∴BD：CD=2CF：CF=2，
∴BD=2DC，
∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；

（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，
∴若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立．