Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（II）若函数y=f（x）的图象

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[m2+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？（III）当a=2时，设函数h（x）=（p-2）x+p+2x-3，若对任意的x∈[1，2]，f（x）≥h（x）恒成立，求实数P的取值范围．

Answer 1

f'（x）=

a

x

?a（x＞0）
（I）a=1时，f'（x）=

1

x

?1（x＞0），令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以f（x）在区间（0，1）递增，
令f'（x）＜0解得x＞1，所以f（x）在区间（1，+∞）递减，
（II）函数y=f（x）的图象在点（2，f（x））处的切线的倾斜角为45°，
f'（2）=1，即

a

2

?a=1，故a=-2，由此得f'（x）=

?2

x

+2
∴g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]=x³+x²（

m

2

+

?2

x

+2）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2
∵对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f^′（x）]在区间（t，3）上总存在极值
∴g'（x）=3x²+（4+2m）x-2在区间（t，3）上总有根，
∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，
解得?

37

3

＜m＜-9
（III）a=2时，f（x）=2lnx-2x-3
令F（x）=f（x）-h（x）=2lnx-px?

p+2

x

F'（x）=

2

x

?p+

p+2

x2

=

2x?px2+p+2

x2

=

?p(x? p+2 p ) (x+1)

x2

①p+2=0时，F'（x）=

2x+2

x2

＞ 0，∴F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2＜0不成立，舍
②1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，同①不成立，舍；
③-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，∴F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以p＜-1
④p=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立
⑤p＞0时，无不成立
综上，p≤-1