Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）AE=14AC．

Answer 1

解答：证明：（1）连结OD，如图，
∵以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠DOB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠DOB，
∴DB=DO，
∴DB=DO=BO，
∴△DBO为等边三角形，
∴∠B=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=

1

2

AD，
∵OD∥AC，点O为BC的中点，
∴D点为AB的中点，即AD=BD，
∴AE=

1

4

AB，
∴AE=

1

4

AC．