Question

已知定义域为R的函数满足f(x+y)=f(x)*f(y),当x>0时,f(x)>1

1）求f（0）
（2）证明f（x-y)=f(y)分之f（x)
（3）判断f（x）的单调性
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Answer 1

解：（1）当x〉0时，有f(x)>1。假设x=1,y=0。代入关系式有：f(1+0)=f(1)*f(0)。即f(1)=f(1)*f(0)。
而f（1）>1；故f(0)=1。
（2）因为该函数的定义域为R，恒有等式f(x+y)=f(x)*f(y)成立。令x=-y；代入得
f(-y+y)=f(-y)*f(y)；即f(0)=f(-y)*f(y)。

由（1）知f(0)=1；得到f(-y)*f(y)=1,令X=Y，得f（x）*f(-x)=1；又应为当x>0；f(x)>0
所以f(-x)>0。可以知道f(x)在X属于R，恒大于0。
f((x-y)+y)*f(-x)=1 可变成f(x-y)*f(y)*f(-x) =1
最终得到：f(x-y)=f(x)/f(y)
（3）由（2）得f(x-y)=f(x)/f(y);假设x>y>;则x-y>0；f(x)/f(y)恒大于等于1，故该函数在x属于R为递增的函数。