Question

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， m =（2b-c，cosC）， . n =

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， m =（2b-c，cosC）， . n =（a，cosA），且 m ∥ . n ．（1）求角A的大小；（2）当 π 6 ＜B＜ π 2 时，求函数y=2sin 2 B+cos（ π 3 -2B）的值域．

Answer 1

（1）∵ m =（2b-c，cosC）， . n =（a，cosA），且 m ∥ . n          ∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分） 化简，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C） ∵A+B+C=π， ∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分） ∵在锐角三角形ABC中，sinB＞0 ∴两边约去sinB，得cosA= 1 2 ， 结合A是三角形的内角，得A= π 3 …（6分） （2）∵锐角三角形ABC中，A= π 3 ，∴ π 6 ＜B＜ π 2 …（7分） ∴y=2sin 2 B+cos（ π 3 -2B）=1-cos2B+ 1 2 cos2B+ 3 2 sin2B =1+ 3 2 sin2B- 1 2 cos2B=1+sin（2B- π 6 ）…（9分） ∵ π 6 ＜B＜ π 2 ，∴ π 6 ＜2B- π 6 ＜ 5π 6 ∴ 1 2 ＜sin（2B- π 6 ）≤1，可得 3 2 ＜y≤2 ∴函数y=2sin 2 B+cos（ π 3 -2B）的值域为（ 3 2 ，2]．…（12分）