Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 sinB-cosB=1 ，b=1．（Ⅰ）若 A= 5π

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 sinB-cosB=1 ，b=1．（Ⅰ）若 A= 5π 12 ，求c；（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，∵ 3 sinB-cosB=1 ， ∴sin（B- π 6 ）= 1 2 ．                         …（2分） ∵0＜B＜π， ∴ - π 6 ＜B- π 6 ＜ 5 6 π ． 故B- π 6 = π 6 ，解得B= π 3 ．…（4分） 由 A= 5π 12 ，且A+B+C=π，得C= π 4 ． 由 c sinC = b sinB ，即 c sin π 4 = 1 sin π 3 ，解得c= 6 3 ．…（7分） （Ⅱ）因为b 2 =a 2 +c 2 -2accosB，a=2c，B= π 3 ， 所以b 2 =4c 2 +c 2 -4c 2 × 1 2 ，解得b= 3 c．…（10分） 由此得a 2 =b 2 +c 2 ，故△ABC为直角三角形，A= π 2 ，c= 1 3 ． 其面积S= 1 2 bc= 3 6 ．                          …（13分）