Question

已知函数f(x)＝lnx+ax+a+1x?1．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当?12

已知函数f(x)＝lnx+ax+a+1x?1．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当?12≤a≤0时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)＝lnx+x+

2

x

?1，
此时f′(x)＝

1

x

+1?

2

x2

f′(2)＝

1

2

+1?

2

4

＝1，
又f(2)＝ln2+2+

2

2

?1＝ln2+2，
∴切线方程为：y-（ln2+2）=x-2，
整理得：x-y+ln2=0； 
（2）f′(x)＝

1

x

+a?

1+a

x2

＝

ax2+x?a?1

x2

＝

(ax+a+1)(x?1)

x2

，
当a=0时，f′(x)＝

x?1

x2

，
此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 
当?

1

2

≤a＜0时，f′(x)＝

a(x+ 1+a a )(x?1)

x2

，
当?

1+a

a

＝1，即a＝?

1

2

时，
f′(x)＝?

(x?1)2

2x2

≤0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减； 
当?

1

2

＜a＜0时，?

1+a

a

＞1，
此时在（0，1），(?

1+a

a

，+∞)，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）在(1，

1?a

a

)，f′（x）＞0单调递增； 
综上所述：
当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；
当?

1

2

＜a＜0时，f（x）在(0，1)，(

1?a

a

，+∞)单调递减，f（x）在