Question

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x 2 -2x-3≤0的解集为N．（Ⅰ）当a=1时，求集合M

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x 2 -2x-3≤0的解集为N．（Ⅰ）当a=1时，求集合M；（Ⅱ）若M?N，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，由已知得x（x-2）＜0． 解得0＜x＜2． 所以M={x|0＜x＜2}．…（3分） （Ⅱ） 由已知得N={x|-1≤x≤3}．…（5分） ①当a＜-1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}． 因为M?N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（8分） ②若a=-1时，M=?，显然有M?N，所以a=-1成立；…（10分） ③若a＞-1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}． 又N={x|-1≤x≤3}，因为M?N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．…（12分） 综上所述，a的取值范围是[-2，2]．…（13分）