Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥ 平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、 OE．∴FO ∥ DC，且FO= 1 2 DC ∴FO ∥ AE 又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF ∥ OE 又OE?平面PEC，AF?平面PEC ∴AF ∥ 平面PEC （Ⅱ）连接AC ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角 在Rt△PAC中， tan∠PCA= PA AC = 1 5 = 5 5 即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为 6 6 （Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理．得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角． 由△AME ∽ △CBE，可得 AM= 2 2 ，∴ tan∠PMA= PA AM = 2 ∴二面角P一EC一D的余弦值为 6 6