(本小题14分)已知函数 在 处取得极值。(Ⅰ)求函数 的解析式;(Ⅱ)求证:对于区间 上任意两个
(本小题14分)已知函数在处取得极值。(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求证:对于区间上任意两个自变量的值,都有;(Ⅲ)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围。...
(本小题14分)已知函数 在 处取得极值。(Ⅰ)求函数 的解析式;(Ⅱ)求证:对于区间 上任意两个自变量的值 ,都有 ;(Ⅲ)若过点 可作曲线 的三条切线,求实数 的取值范围。
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(Ⅰ) ,依题意, , …………………………………1分
即 ,解得 …………………………………3分 经检验符合。 (Ⅱ) 当 时, ,故 在区间 上为减函数, ………………………………5分 ∵对于区间 上任意两个自变量的值 , 都有 …………………………………7分 (Ⅲ) , ∵曲线方程为 ,∴点 不在曲线上, 设切点为M(x 0 ,y 0 ),则点M的坐标满足 。 因 ,故切线的斜率为 , 整理得 。 ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于 的方程 有三个实根。 …………………………………9分 设 ,则 , 由 ,得 或 在 上单调递增,在(0,1)上单调递减。 ∴函数 的极值点为 , …………………………………11分 ∴关于 方程 有三个实根的充要条件是 ,解得 故所求的实数a的取值范围是 &
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