Question

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．（1）

如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．（1）请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；（2）将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．

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Answer 1

解：（1）FD=

3

CF，
理由如下：
延长DF，交AC于G；
∵∠CDE=∠ACD=120°，
∴DE∥AG；
∵F是AE的中点，
∴F是GD的中点，即AE、DG互相平分，
∴四边形AGED是平行四边形，
∴AG=DE=DB；
∵BC=AC，∴CG=CD，
在等腰△CGD中，F是DG的中点，则CF⊥GD，且∠FCD=

1

2

∠ACB=60°，
故FD=

3

CF．

（2）延长DF至G，使得DF=FG；
则DG、AE互相平分，连接AG、CG；
故四边形AGED是平行四边形；
∴AG=DE=BD，且AG∥DE；
∴∠AGM=∠MDE=∠3+∠4=∠3+60°；
四边形AGMC中，
∠1+120°+∠CAG+∠AGF=360°，即∠1+120°+∠CAG+∠3+60°=360°?∠1+∠3+∠CAG=180°；
△DBM中，∠CBD+∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠2，∴∠CAG=∠CBD=α；
又∵AG=BD，AC=BC，
∴△AGC≌△BDC，得GC=CD，∠ACG=∠DCB；
∴∠BCD+∠GCB=∠ACG+∠GCB=∠ACB=120°，
在等腰△GCD中，F是GD的中点，则CF⊥GD，且∠FCD=60°，
故FD=

3

CF，所以（1）的结论依然成立．

（3）FD=

3

CF，如图．（解法与（2）完全相同）．