Question

已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列

已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 b1+2b2+22b3+…+2n?1bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由a₃=5，得a₁+2d=5；由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a1(a1+4d)＝(a1+d)2，
其中d≠0，解得a₁=1，d=2，所以，a_n=2n-1．
（2）由b1+2b2+22b3+…+2n?1bn＝an，①
当n=1时，b₁=a₁=1；
当n≥2时，b1+2b2+22b3+…+2n?2bn?1＝an?1，②
①-②得 2^n-1b_n=a_n-a_n-1=2，得bn＝22?n，所以，bn＝

1，n＝1 22?n，n≥2

当n=1时，S₁=b₁=1；
当n≥2时，Sn＝1+1+

1

2

+

1

22

+

1

22?n

=3-2^2-n．
综上，S_n=3-2^2-n．