已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图1中△...
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)
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(1)由分析可知:EG=CG;
(2)
(1)中得到的结论没有发生变化,即EG=CG;
证明:连接AG,过G点作MN⊥AD于点M,与EF的延长线交于N点,则四边形AENM为矩形.
在△DAG与△DCG中,
因为AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=CG,
所以△DAG≌△DCG(SAS).
所以AG=CG.
在△DMG与△FNG中,
因为∠MDG=∠NFG,DG=FG,∠DGM=∠FGN,
所以△DMG≌△FNG(ASA).
所以MG=NG.
因为四边形AENM为矩形,
所以AM=EN,∠AMG=∠ENG=90°.
在△AMG与△ENG中,
因为AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
所以△AMG≌△ENG(SAS).
所以AG=EG.
所以EG=CG.
(3)如下图,
(1)中的结论仍然成立.
(2)
(1)中得到的结论没有发生变化,即EG=CG;
证明:连接AG,过G点作MN⊥AD于点M,与EF的延长线交于N点,则四边形AENM为矩形.
在△DAG与△DCG中,
因为AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=CG,
所以△DAG≌△DCG(SAS).
所以AG=CG.
在△DMG与△FNG中,
因为∠MDG=∠NFG,DG=FG,∠DGM=∠FGN,
所以△DMG≌△FNG(ASA).
所以MG=NG.
因为四边形AENM为矩形,
所以AM=EN,∠AMG=∠ENG=90°.
在△AMG与△ENG中,
因为AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
所以△AMG≌△ENG(SAS).
所以AG=EG.
所以EG=CG.
(3)如下图,
(1)中的结论仍然成立.
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