Question

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设g（x）=f(x)?xx?1，求g（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意f′（

1

e

）=a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）∵g（x）=

xlnx

x?1

，
∴g′（x）=

x?1?lnx

(x?1)2

，
设h（x）=x-1-lnx，
则h′（x）=1-

1

x

，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．
对?x＞1，h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减增函数．
对?x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．