Question

设不等式组x＞0y＞0y≤?nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）（整点即横坐标和纵坐

设不等式组x＞0y＞0y≤?nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．（1）求证：数列{an}的通项公式是an=3n（n∈N*）．（2）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn=Sn3?2n?1．若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3．
∴x=1，或x=2．
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上．
记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1、x=2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂．
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n．
∴a_n=3n（n∈N^*）．
（2）解：∵S_n=3（1+2+3+…+n）=

3n(1+n)

2

，
∴T_n=

Sn

3?2n?1

=

n(n+1)

2n

，
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+1

-

n(n+1)

2n

=-

(n+1)(n?2)

2n+1

，
∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，且T₁=1＜T₂=T₃=

3

2

．
于是T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，故m≥T₂=

3

2

．
即实数m的取值范围为[

3

2

，+∞）．