Question

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，其公比为q，若S3、S9、S6成等差数列．求（1）q3的值；（2）求证：a3、a9

已知Sn是等比数列{an}的前n项和，其公比为q，若S3、S9、S6成等差数列．求（1）q3的值；（2）求证：a3、a9、a6也成等差数列．

Answer 1

（1）当q=1时，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
显然S₃、S₉、S₆不能成等差数列，不符合题意，因此得q≠1      （1分）
由S₃、S₉、S₆成等差数列，得2S₉=S₃+S₆
即2?

a1(1?q9)

1?q

=

a1(1?q3)

1?q

+

a1(1?q6)

1?q

∴化简可得2q⁶=1+q³，（4分）
即（2q³+1）（q³-1）=0，解之得q³=-

1

2

（舍去q³=1）（6分）
（2）由等比数列的通项公式，可得
a₉=a₁q⁸，a₃+a₆=a₁q²+a₁q⁵，
∵q³=-

1

2

∴2a₉-（a₃+a₆）=a₁q²（2q⁶-1-q³）
=a₁q²[2×（-

1

2

）²-1-（-

1

2

））=0
∴2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差数列．（12分）