Question

（Ⅰ）设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（Ⅱ）已知a，b，c∈R+求证：a2+b2+c23≥a+b+c3

（Ⅰ）设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（Ⅱ）已知a，b，c∈R+求证：a2+b2+c23≥a+b+c3．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）a³+b³-a²b-ab²=（a³-a²b）+（b³-ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）；
∵a＞0，b＞0，a≠b，∴（a-b）²（a+b）＞0，即a³+b³-a²b-ab²＞0；
∴a³+b³＞a²b+ab²；
（Ⅱ）∵

a2+b2+c2

3

?(

a+b+c

3

)2=

a2+b2+c2

3

?

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

9

=

2a2+2b2+2c2?2ab?2bc?2ac

9

=

a2?2ab+b2+b2?2bc+c2+a2?2ac+c2

9

=

(a?b)2+(b?c)2+(a?c)2

9

，∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（a-c）²≥0，∴

(a?b)2+(b?c)2+(a?c)2

9

≥0；
即：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，∵a，b，c∈R⁺；
∴

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

．