Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞1ex?2ex成立．

Answer 1

（1）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min＝f(

1

e

)＝?

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f(x)min＝

? 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h(x)＝2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)＝

(x+3)(x?1)

x2

，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

?

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是?

1

e

，当且仅当x＝

1

e

时取到
设m(x)＝

x

ex

?

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)＝

1?x

ex

，易得m(x)max＝m(1)＝?

1

e

，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

?

2

ex

成立．