Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）连接AB的中点M交BD于N，求证：ON=OD．（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

Answer 1

解答：（1）证明：∵直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x=0时，y=4，
当y=0时，-x+4=0，
解得x=4，
∴点A、B的坐标是A（4，0），B（0，4），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA=45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD=

1

2

∠ABO=22.5°，
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠OND=∠ODB，
∴ON=OD（等角对等边）；（3分）

（2）答：BD=2AE．（4分）
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE≌△CBE中，

∠ABD＝∠CBD BE＝BE ∠AEB＝∠CEB＝90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2AE，（5分）
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE=90°，
又∠OBD+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC=∠OBD，
在△OAC与△OBD中，

∠OAC＝∠OBD OA＝OB ∠BOD＝∠AOC

，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD=AC，
∴BD=2AE；（7分）

（3）解：OG的长不变，且OG=4．（8分）
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∵∠BPF=90°，
∴∠BPO+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP=FP，
在△OBP与△HPF中，

∠FPH＝∠BPO ∠BOP＝∠FHP＝90° BP＝FP

，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH=OP，PH=OB=4，（10分）
∵AH=PH+AP=OB+AP，OA=OB，
∴AH=OA+OP=OP，
∴FH=AH，
∴∠GAO=∠FAH=45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG=OA=4．（12分）