Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF ∥ BC交AB的延长线于点E， 交

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF ∥ BC交AB的延长线于点E， 交AC的延长线于点F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC= 4 5 ，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°； ∵EF ∥ BC， ∴∠AFE=∠ACB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA； 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴∠ODA=∠DAC， ∴OD ∥ AF， ∴∠ODE=∠AFD=90°， 即OD⊥EF； 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线． （2）连接BD，CD； ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠AFD； ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴BD=CD； 设BD=CD=a； 又∵EF是⊙O的切线， ∴∠CDF=∠DAC， ∴∠CDF=∠OAD=∠DAC， ∴△CDF ∽ △ABD ∽ △ADF， ∴ CF CD = BD AB CF DF = DF AF ； ∵sin∠ABC= AC AB = 4 5 ， ∴设AC=4x，AB=5x， ∴ 1 a = a 5x a 2 =5x， ∴在Rt△CDF中DF 2 =CD 2 -CF 2 =5x-1； 又∵ CF DF = DF AF ， ∴5x-1=1×（1+4x）， ∴x=2， ∴AB=5x=10，AC=4x=8； ∵EF ∥ BC， ∴△ABC ∽ △AEF， ∴ AB AE = AC AF ， 10 AE = 8 9 ， AE= 45 4 ， ∴在Rt△AEF中， EF= A E 2 -A F 2 = ( 45 4 ) 2 - 9 2 = 27 4 ．