Question

对于函数 f(x)= x 2 +lg(x+ x 2 +1 ) 有以下四个结论：①f（x）的定义域为R；②f（x

对于函数 f(x)= x 2 +lg(x+ x 2 +1 ) 有以下四个结论：①f（x）的定义域为R；②f（x）在（0，+∞）上是增函数；③f（x）是偶函数；④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a 2 -m．正确的命题是______．

Answer 1

①要使函数有意义，须 x+ x 2 +1 ＞0 ，而 x+ x 2 +1 ＞0 恒成立， ∴函数的定义域为R，故①正确； ②已知函数y=x 2 在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（ x+ x 2 +1 ）也是增函数， 令t= x+ x 2 +1 ，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t= x+ x 2 +1 在R上是增函数， 根据复合函数的单调性可知y=lg（ x+ x 2 +1 ）在R上是增函数， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确； ③ f(-1)=1 +lg(-1+ 1+1 ) = 1 +lg(-1+ 2 ) ， 而 f(1)=1 +lg(1+ 1+1 ) = 1 +lg(1+ 2 ) ， ∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错； ④令g（x）=f（x）-x 2 =lg（ x+ x 2 +1 ），则g（x）+g（-x）=lg（ x+ x 2 +1 ）+lg（ -x+ (-x) 2 +1 ） =lg [(x+ x 2 +1 )(-x+ (- x) 2 +1 )] =lg1=0， ∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数； ∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a 2 =m-a 2 ， ∴g（-a）=-g（a）=-m+a 2 ， ∴f（-a）=g（-a）+a 2 =2a 2 -m，故④正确； 故正确的命题是①②④， 故答案为：①②④．