Question

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点． (1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

Answer 1

(1)详见解析；(2)详见解析；(3) .

试题分析：解法一（向量法） （I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD； （2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置； （3）由 是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案． 解法二（几何法） （I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD； （2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝ AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝ AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置； （Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．. 试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)． 不妨令P(0,0，t)，∵ ＝(1,1，－t)， ＝(1，－1,0)， ∴ ＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0， 即PF⊥FD. (2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)， 由 得 令z=1，解得：x=y= . ∴n= . 设G点坐标为(0,0，m)，E ，则 ， 要使EG∥平面PFD，只需 ·n=0，即 ，得m= ，从而满足AG= AP的点G即为所求． (3)解：∵AB⊥平面PAD，∴ 是平面PAD的法向量，易得 =(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= . ∴ . 故所求二面角A－PD－F的余弦值为 .