如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=23，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求CE：AE的
如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=23，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求CE：AE的值；（2）在CB的延长线上取一点P，使P...
如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=23，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求CE：AE的值；（2）在CB的延长线上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）在（2）的情况下，求线段PA、PB与AB所围成的图形的面积．
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（1）连接OC，过点O作OF⊥AC于点F．则AF=CF（垂径定理）；
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°
∵∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形内角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角），
则在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，CE=a，
∴
=
=
；
（2）直线PA和⊙O相切于点A．理由如下：
由（1）知，
=
=
；
∵PB=2BC，
∴
=
，
∴
＝
=
，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O为半径，
∴PA切⊙O于点A；
（3）过点B作BG⊥AP于G，则四边形AOBG是正方形，
∴AO=BG=
AD=
×2
=
，OB=AG=
AD=
，
设BC=x，则PB=2x，由（2）可知PA是圆的切线，
∴PA2=PB?BC=2x?3x，
∴PA=
∵∠ACB=45°，∠AOB=2∠ACB，（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOB=90°；
又∵在△ABC中，∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°
∵∠ACB=45°，
∴∠CAB=15°（三角形内角和定理），
∴∠COB=2∠CAB=30°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠AOC=120°；
∵OA=OC=2（⊙O的半径），
∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角），
则在直角△AOE中，设OE=a，则AE=2a，CE=a，
∴
| CE |
| AE |
| a |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
（2）直线PA和⊙O相切于点A．理由如下：
由（1）知，
| CE |
| AE |
| a |
| 2a |
| 1 |
| 2 |
∵PB=2BC，
∴
| PC |
| PB |
| 1 |
| 2 |
∴
| EC |
| AE |
| BC |
| PB |
| 1 |
| 2 |
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEB∽△CAP，
∴∠CBE=∠P，
∴OB∥AP，
∴∠OAP+∠AOB=180°，
∴∠OAP=90°，
∵O为半径，
∴PA切⊙O于点A；
（3）过点B作BG⊥AP于G，则四边形AOBG是正方形，
∴AO=BG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
设BC=x，则PB=2x，由（2）可知PA是圆的切线，
∴PA2=PB?BC=2x?3x，
∴PA=
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