Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x、y都有f：（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）是奇函数

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x、y都有f：（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）；（3）若当x＞0时，有f（x）＞0，则f（x）在R上是增函数．

Answer 1

（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．
（3）任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上是增函数．