已知函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-1①判断f(x
已知函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-1①判断f(x)奇偶性②求证:f(x)在R上是减函数.③求f...
已知函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-1①判断f(x)奇偶性②求证:f(x)在R上是减函数.③求f(x)在[-2,4]上的最大值,最小值.
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①∵对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
②令x1<x2,则x2-x1>0,
∵x>0时,f(x)<0,
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上是减函数;
③由①②知,f(x)在是R上递减的奇函数,又f(1)=-1,
∴当x∈[-2,4]时,f(x)max=f(-2)=-f(2)=-[f(1)+f(1)]=-(-2)=2,
同理可求,当x∈[-2,4]时,f(x)min=f(4)=2f(2)=-4.
∴令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
②令x1<x2,则x2-x1>0,
∵x>0时,f(x)<0,
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上是减函数;
③由①②知,f(x)在是R上递减的奇函数,又f(1)=-1,
∴当x∈[-2,4]时,f(x)max=f(-2)=-f(2)=-[f(1)+f(1)]=-(-2)=2,
同理可求,当x∈[-2,4]时,f(x)min=f(4)=2f(2)=-4.
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