Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE 的外接圆．（

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若DE=2，BD=4，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆， ∴BE是直径，点O是BE的中点， ∵∠C=90°， ∴∠DBC+∠BDC=90°， 又BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC， ∵OB=OD， ∴∠ABD=∠ODB， 则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90° 又∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线．（方法不唯一，参照给分） （2）∵DE⊥DB，DE=2，BD=4， ∴ BE=2 5 ，OE= 5 ， ∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角， ∴△ADB ∽ △AED，则有 AE AD = ED DB = 2 4 ， ∴AD=2AE， 在Rt△AOD中，AO 2 =OD 2 +AD 2 ， 即（ 5 +AE） 2 =（ 5 ） 2 +（2AE） 2 ， 解得AE= 2 3 5 或AE=0（舍去）， 所以AE= 2 3 5 ．