Question

实数x,y满足2x²+y²=1时，求z=2x+y的最大值和最小值。

可以的话麻烦详细些解说，谢谢！

Answer 1

分析：利用sin²a+cos²a=1求解z的最大值与最小值
解：设X=√2/2cosa(a∈R)，y=sina(a∈R)
z=2X+y=√2cosa+sina=√3sin(a+β)，tanβ=√2
于是z最大值=√3，z最小值=-√3

追答

分析：利用sin²a+cos²a=1求解z的最大值与最小值
解：设X=√2/2cosa(a∈R)，y=sina(a∈R)
z=2X+y=√2cosa+sina=√3sin(a+β)，tanβ=√2
于是z最大值=√3，z最小值=-√3

Answer 2

法 1： 条件极值法 . 令
F = 2x+y+k(2x^2+y^2-1)
F'x = 2+4kx = 0, x = -1/(2k) ;
F'y = 1+2yk = 0, y = -1/(2k) = x ;
F'k = 2x^2+y^2-1 = 0, y = x 代入, 得 x = y = ±1/√3,
最大值 z = 3x = √3， 最小值 z = 3x = -√3。
法 2： 椭圆法 . 令 x = (1/√2)cost, y = sint,
z = 2x+y = √2cost+sint = √3sin(t+a), 其中 tana = √2
z(max) = √3, z(min) = -√3