Question

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）=x有相等实根．（1）求f（x）的解析

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）=x有相等实根．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[m，m+1]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x+1）为偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1），整理，得2a+b=0①；
又∵f（x）=x有相等实根，即ax²+bx=x有相等实根，
∴b=1，从而解得a=-

1

2

；
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x的图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x=1；
∴当m+1≤1，即m≤0时，f（x）在[m，m+1]上是增函数，
∴f（x）_max=f（m+1）=-

1

2

m²+

1

2

；当

1＜m+1 m＜1

，即0＜m＜1时，在[m，m+1]上先增或减，
∴f（x）_max=f（1）=

1

2

；当m≥1时，在[m，m+1]上是减函数，
∴f（x）_max=f（m）=-

1

2

m²+m；
综上，知f（x）在[m，m+1]上的最大值是：当m≤0时，f（x）_max=-

1

2

m²+

1

2

；当0＜m＜1时，f（x）_max=

1

2

；当m≥1时，f（x）_max=-

1

2

m²+m．