Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，1），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，1），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于不同的两点A、B，且AP＝3PB．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及其标准方程；（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，
可设C：

y2

a2

+

x2

b2

＝1(a＞b＞0)，
由条件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得a＝1，b＝c＝

2

2

故椭圆C的离心率为e＝

c

a

＝

2

2

，
其标准方程为：y2+

x2

1 2

＝1
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若k不存在，直线l与y轴重合，不符合题意，
若k存在，则y=kx9m，
由

y＝kx+m 2x2+y2＝1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2?1)＝0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），
x1+x2＝

?2km

k2+2

，x1x2＝

m2?1

k2+2

∵

AP

＝3

PB

∴-x₁=3x₂，
∴

x1+x2＝?2x2 x1x2＝?3 x 2 2

由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

?2km

k2+2

)2+4

m2?1

k2+2

＝0
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
m2＝

1

4

时，上式不成立；
m2≠

1

4

时，k2＝

2?2m2

4m2?1

，
∵k≠0
∴k2＝

2?2m2

4m2?1

＞0，
∴?1＜m＜?

1

2

或

1

2

＜m＜1
容易验证k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1）．