Question

已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线pa、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当

已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线pa、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，
所以MP=

(0?2b)2+(4?b)2

＝

AM2+AP2

＝4，解得b＝0或b＝

8

5

所以P(0，0)或P(

16

5

，

8

5

)…4分
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：(x?b)2+(y?

b+4

2

)2＝

4b2+(b?4)2

4

即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y?4＝0 x2+y2?4y＝0

，…7分
解得

x＝0 y＝4

或

x＝ 8 5 y＝ 4 5

，所以圆过定点(0，4)，(

8

5

，

4

5

)…9分
（Ⅲ）因为圆N方程为（x-b）²+（y-

b+4

2

）²=

4b2+(b?4)2

4

即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　　　    …①
圆M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0…②
②-①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b-4）y+12-4b=0…11分
点M到直线AB的距离d＝

4

5b2?8b+16

…13分
相交弦长即：AB＝2

4?d2

＝4

1? 4 5b2?8b+16

＝4

1? 4 5(b? 4 5 )2+ 64 5

当b＝

4

5

时，AB有最小值

11

…16分．